Coba perhatikan penjumlahan berpangkat dua berikut ini
(x+y)2=(x+y)(x+y)=x2+2xy+y2=(20)x2+(21)xy+(22)y2=2∑k=0(2k)x2−kyk
dan penjumlahan berpangkat tiga berikut ini
(x+y)3=(x+y)(x+y)(x+y)=x3+3x2y+3xy2+y3=(30)x3+(31)x2y+(32)xy2+(33)y3=3∑k=0(3k)x3−kyk
begitu seterusnya, sehingga untuk penjumlahan berpangkat n adalah
(x+y)n=n∑k=0(nk)xn−kyk
Rumus di atas disebut juga dengan Rumus Teorema Binomial. Koefisien (nk) disebut juga dengan koefisien binomial.
Deret Binomial
Coba perhatikan koefisien persamaan (nk) di bawah ini.
(nk)=n(n−1)(n−2)⋯(n−k−1)k!
koefisien tersebut berlaku untuk sembarang bilangan real n dan k bilangan buat positif. Oleh karena iu, Newton pada tahun 1665 menemukan Deret Binomial, yaitu
(1+x)α=1+(α1)x+(α2)x2+⋯+(αn)xn+⋯=1+∞∑k=1(αk)xk
dimana p adalah bilangan real, k adalah bilangan bulat positif dan |x|<1.
Sifat-sifat Teorema Binomial
| Kofisien binomial bersifat simetris hal ini ditunjukkan oleh
(nk)=(nn−k) |
Bukti:
(nn−k)=n!(n−n+k)!(n−k)!=n!k!(n−k)!=(nk)
|
|
 |
|
